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4.1.E: Probleme mit Grenzwerten und Stetigkeit - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Beweisen Sie Korollar (2 .) Warum kann man hier (G_{p}(delta)) und (G_{ eg p}(delta)) vertauschen?

Übung (PageIndex{2})

Beweisen Sie Korollar (3 .) Erweitern Sie seine erste Klausel per Induktion auf Vereinigungen von (n) Wegen. Widerlegen Sie es für unendliche Vereinigungen von Pfaden (siehe Aufgabe 9 in §3).

Übung (PageIndex{2'})

Beweisen Sie, dass eine Funktion (f : E^{1} ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) stetig in (p) genau dann ist, wenn
[
f(p)=fleft(p^{-} ight)=fleft(p^{+} ight) .
]

Übung (PageIndex{3})

Zeigen Sie, dass relative Grenzen und Stetigkeit an (p) (über (B)) den gewöhnlichen äquivalent sind, wenn (B) eine Umgebung von (p) ist (Kapitel 3, §12); zum Beispiel, wenn es ein (G_{p}) ist.

Übung (PageIndex{4})

Diskutieren Sie die Abbildungen (13-15) im Detail, vergleichen Sie (f(p), fleft(p^{-} ight),) und (fleft(p^{+} ight) ;) siehe Problem (2^{prime} .)
Beachten Sie, dass sich in Abbildung (13,) unterschiedliche Werte von (delta) bei (p) und (p_{1}) für dasselbe (varepsilon .) ergeben. Also (delta ) hängt sowohl von (varepsilon) als auch von der Wahl von (p .) ab

Übung (PageIndex{5})

Ergänzen Sie die fehlenden Details in den Beispielen ((mathrm{d})-(mathrm{g}) . operatorname{In}(mathrm{d}),) definiere (f(x)) um die kleinste ganze Zahl (geq x .) Zeigen Sie, dass (f) auf (E^{1}) linksstetig ist.

Übung (PageIndex{6})

Geben Sie explizite Definitionen an (wie ((3) )) für
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } lim _{x ightarrow+infty} f(x)=-infty ;} & { ext { (b) } lim _{x ightarrow-infty} f(x)=q} ; { ext { (c) } lim _{x ightarrow p} f(x)=+infty ;} & { ext { (d) } lim _{x ightarrow p} f(x )=-infty} ; { ext { (e) } lim _{x ightarrow p^{-}} f(x)=+infty ;} & { ext { (f) } lim _{x ightarrow p ^{+}} f(x)=-infty} . end{array}
]
Zeichnen Sie in jedem Fall ein Diagramm (z. B. Figures (13-15 )) und bestimmen Sie, ob der Bereich und der Bereich von (f) beide in (E^{*}) liegen müssen.

Übung (PageIndex{7})

Definiere (f : E^{1} ightarrow E^{1}) durch
[
f(x)=frac{x^{2}-1}{x-1} ext { if } x eq 1, ext { and } f(1)=0 .
]
Zeigen Sie, dass (lim_{x ightarrow 1} f(x)=2) existiert, aber (f) bei (p=1 .) unstetig ist. Machen Sie es stetig, indem Sie (f(1 ) .)
([ ext { Hinweis: Für } x eq 1, f(x)=x+1 . ext { Verfahren Sie wie in Beispiel (b) mit dem gelöschten Globus }) (G_{ eg p} (delta) . ])

Übung (PageIndex{8})

Bestimme (lim_{x ightarrow p}f(x)) und überprüfe die Stetigkeit bei (p) in den folgenden Fällen, vorausgesetzt, (D_{f}=A) ist die Menge aller (x in E^{1}), für die der angegebene Ausdruck für (f(x)) Sinn hat. Geben Sie diesen Satz an.
[
egin{array}{l}{ ext {(a)} lim_{x ightarrow 2}left(2x^{2}-3 x-5 ight) ; quad ext { (b) } lim _{x ightarrow 1} frac{3 x+2}{2 x-1}} { ext { (c) } lim _{x ightarrow -1}left(frac{x^{2}-4}{x+2}-1 ight) ;} & { ext { (d) } lim _{x ightarrow 2} frac{ x^{3}-8}{x-2}} { ext { (e)} lim _{x ightarrow a} frac{x^{4}-a^{4}}{xa } ;} & { ext { (f) } lim _{x ightarrow 0}left(frac{x}{x+1} ight)^{3}} { ext { (g ) } lim _{x ightarrow-1}left(frac{1}{x^{2}+1} ight)^{2}}end{array}
]
( [ ext { Beispiellösung: Find } lim _{x ightarrow 1} frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} .)
Hier
[
f(x)=frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} ; A=E^{1}-left{-frac{3}{2} ight} ; p=1.
]
Wir zeigen, dass (f) in (p,) stetig ist und so (nach Korollar 2())
[
f(x) = frac{5x^{2} - 1}{2x + 3} ; A = E^{1} - large{ - frac{3}{2} large} ; p = 1.
]
Wir zeigen, dass (f) in (p) stetig ist und so (nach Korollar 2)
[
lim_{x ightarrow p} f(x)=f(p)=f(1)=frac{4}{5} .
]
Mit der Formel ((1),) fixieren wir ein beliebiges (varepsilon>0) und suchen nach einem (delta) mit
[
left(forall xin Acap G_{p}(delta) ight) quad ho(f(x), f(1))=|f(x)-f(1)|< varepsilon, ext { dh },left|frac{5 x^{2}-1}{2 x+3}-frac{4}{5} ight|]
oder indem man alles auf einen gemeinsamen Nenner bringt und Eigenschaften von absoluten Werten verwendet,
[
|x-1| frac{|25 x+17|}{5|2 x+3|}]
(Normalerweise ist es bei solchen Problemen wünschenswert, (x-p . ) auszuklammern.)
Nach Hinweis (4,) können wir annehmen (0[
5|2 x+3| geq 15 ext { und }|25 x+17| leq67 .
]
Daher wird (6) sicherlich gelten, wenn
[
|x-1| frac{67}{15}]
Um dies zu erreichen, wählen wir (delta=min (1,15 varepsilon / 67) .) Dann erhalten wir durch Umkehrung aller Schritte ((6),) und damit (lim _{x ightarrow 1} f(x)=f(1)=4 / 5. ])

Übung (PageIndex{9})

Suchen (unter Verwendung von Definitionen wie ((3) ))
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } lim _{x ightarrow+infty} frac{1}{x} ;} & { ext { (b) } lim _{x ightarrow-infty} frac{3 x+2}{2 x-1}} ; { ext { (c) } lim _{x ightarrow+infty} frac{x^{3}}{1-x^{2}} ;} & { ext { (d) } lim_{x ightarrow 3^{+}} frac{x-1}{x-3}} ; { ext { (e) } lim _{x ightarrow 3^{-}} frac{x-1}{x-3} ;} & { ext { (f) } lim _{ x ightarrow 3}left|frac{x-1}{x-3} ight|} . end{array}
]

Übung (PageIndex{10})

Beweisen Sie, dass wenn
[
lim_{x ightarrow p} f(x)=overline{q} in E^{n}left(^{*} C^{n} ight) ,
]
dann für jeden Skalar (c),
[
lim _{x ightarrow p} c f(x)=c overline{q} .
]

Übung (PageIndex{11})

Definiere (f : E^{1} ightarrow E^{1}) durch
[
f(x)=x cdot sin frac{1}{x} ext { if } x eq 0, ext { und } f(0)=0 .
]
Zeigen Sie, dass (f) bei (p=0,) stetig ist, d.h.
[
lim_{x ightarrow 0} f(x)=f(0)=0 .
]
Zeichnen Sie einen ungefähren Graphen (er befindet sich zwischen den Linien (y=pm x )).
(left[ ext { Hinweis: }left|x cdot sin frac{1}{x}-0 ight|leq|x| . ight])

Übung (PageIndex{*12})

Diskutieren Sie die Aussage: (f) ist stetig bei (p) wenn
[
left(forall G_{f(p)} ight)left(exists G_{p} ight) quad fleft[G_{p} ight] subseteq G_{f(p)} .
]

Übung (PageIndex{13})

Definiere (f : E^{1} ightarrow E^{1}) durch
[
f(x)=x ext { if } x ext { ist rational }
]
und
[
f(x)=0 ext { sonst } .
]
Zeigen Sie, dass (f) bei 0 stetig ist, aber nirgendwo anders. Wie wäre es mit relativer Kontinuität?

Übung (PageIndex{14})

Sei (A=(0,+infty) subset E^{1} .) Definiere (f : A ightarrow E^{1}) durch
[
f(x)=0 ext { if } x ext { ist irrational }
]
und
[
f(x)=frac{1}{n} ext { if } x=frac{m}{n}( ext {in niedrigsten Termen})
]
für einige natürliche (m) und (n .) Zeigen Sie, dass (f) an jedem irrationalen, aber nicht rationalen Punkt (pin A.) stetig ist.
[Hinweise: Falls (p) irrational ist, fixiere (varepsilon>0) und eine ganze Zahl (k>1 / varepsilon .) In (G_{p}(1),) gibt es nur endlich viele irreduzible Brüche
[
frac{m}{n}>0 ext { mit } n leq k ,
]
also einer von ihnen, nenne es (r,) ist am nächsten zu (p .) Put
[
delta=min (1,|r-p|)
]
und zeig das
[
left(forall xin Acap G_{p}(delta) ight) quad|f(x)-f(p)|=f(x)]
Unterscheidung der Fälle, in denen (x) rational und irrational ist.
Wenn (p) rational ist, verwenden Sie die Tatsache, dass jedes (G_{p}(delta)) Irrationale (x) enthält, bei denen
[
f(x)=0 Longrightarrow|f(x)-f(p)|=f(p) .
]
Nimm (varepsilon

Übung (PageIndex{15})

Gegeben zwei reelle Zahlen, (p>0) und (q>0,) definieren (f : E^{1} ightarrow E^{1}) durch
[
f(0)=0 ext { und } f(x)=left(frac{x}{p} ight) cdotleft[frac{q}{x} ight] ext { if } x eq 0 .
]
hier ist ([q / x]) der ganzzahlige Teil von (q / x).
(i) Ist (f) links oder rechts stetig bei 0(?)
(ii) Dieselbe Frage mit (f(x)=[x / p](q / x)).

Übung (PageIndex{16})

Beweisen Sie, dass, wenn ((S, ho)) diskret ist, alle Funktionen (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) stetig sind. Was ist, wenn (left(T, ho^{prime} ight)) diskret ist, ((S, ho)) jedoch nicht?


Die meisten Kandidaten schneiden in der Fachkommission Mathematik / Aufnahmeprüfung nicht gut ab. weil nur wenige Mathematikkapitel numerisch theoriebasiert sind und nur wenige IQ-basiert sind, weshalb es nicht gut läuft. Zum Beispiel Grenzkapitel, Nach dem Lesen des Differenzialkapitels möchten wir alle Beispiele für Differenzialkapitel und NCERT, Illustrationen,

Bedeutung der JEE Mains-Papiere des letzten Jahres und des vollständigen Lehrplans, die für die Bestnoten hilfreich sind…

Meistens schneiden die Schüler in den Aufnahmeprüfungen für Jee Mains nicht gut ab. Der Grund dafür ist, dass die meisten Schüler gute Trainer finden, Top-Lehrer und sie sind in den 3 bis 5 Monaten, sie sind nicht im Studium einverstanden und danach machen Jee Mains-Studenten nur den vollständigen Lehrplan abhängig nur Coaching-Institut, iit-Coaching-Institut, wenn wir unseren Lehrplan von Zeit zu Zeit abschließen können und danach können wir jee mains vorherige 5 bis 8 Jahre Fragebögen mit Überprüfung aller Lösungen abschließen.

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4.1.E: Probleme mit Grenzwerten und Stetigkeit - Mathematik

Mathe-Videos sind wichtige Quellen für die Schüler, um Mathematik zu ihrer Bequemlichkeit zu lernen. Wenn ein Schüler einen bestimmten Mathematikunterricht besucht, muss er sich vollständig konzentrieren und sich Notizen machen, was in der Klasse gelehrt wird. Und der Schüler kann nicht alles aufzeichnen, was der Tutor in der Klasse erklärt hat. Der Student würde sich nur einige wichtige Punkte notieren. Wenn der Schüler für einige Sekunden unkonzentriert ist, kann der Tutor einige wichtige Punkte sagen. Und der Schüler hat möglicherweise keine Möglichkeit, den Tutor zu bitten, dies zu wiederholen. Wenn der Schüler in dieser Situation zusammenfassen möchte, was in der Klasse über eine bestimmte Sache gelehrt oder erklärt wurde, kann er verwirrt sein

Wenn der Schüler über die Videoaufzeichnung dieser bestimmten Klasse verfügt, kann er das Video der Klasse wiedergeben und jeden Moment der Klasse gemäß den Anforderungen zusammenfassen. Wenn die Schüler also Videos aller Klassen haben, können sie jederzeit Videos von einer bestimmten Klasse abspielen und bekommen, was sie wollten. Ein Video zu einem bestimmten Thema zu haben, ist wie ein Lehrer, der mit den Schülern zusammen ist.

Um mehr über die Bedeutung von Mathevideos zu erfahren, betrachten wir den folgenden Vorfall.

„Zu Beginn eines akademischen Jahres studiert ein Schüler an einer Schule. Zu dieser Zeit unterrichtet ein Lehrer in der Schule einige Themen in Mathematik. Darüber macht er sich Notizen. Am Ende des Jahres bereitet sich der Student auf seine Abschlussprüfung vor. Bei seiner Vorbereitung vergisst er viele Dinge in Mathematik, die er zu Beginn des Studienjahres gelernt hat. Jetzt braucht er die Hilfe des Lehrers, um zu erklären, woran er sich nicht erinnert. Aber für den Lehrer ist es etwas schwierig, alle Zweifel in der Schule auszuräumen. In dieser Situation müssen die Eltern des Schülers möglicherweise einen Tutor einstellen, der die Schüler dazu bringt, das zu rekapitulieren, an das er sich tatsächlich nicht erinnert. Wenn der Tutor eingestellt wird, muss der Tutor bezahlt werden und das an den Tutor gezahlte Geld ist ein zusätzlicher Aufwand für die Eltern.

Aus dem obigen Vorfall geht sehr klar hervor, dass es vielen Schülern passiert. Und Eltern müssen möglicherweise etwas Geld ausgeben, um das oben genannte Problem zu überwinden. Um dies zu vermeiden, müssen die Schüler Videos von dem haben, was sie lernen. Auf dieser Seite stellen wir Videos zum Thema Mathematik zur Verfügung, um das Lernen zu verbessern. Die Videos, die wir auf dieser Seite bereitgestellt haben, sind nicht endgültig. Jeden Tag aktualisieren wir neue Videos zu verschiedenen Themen in Mathematik. Bitte besuchen Sie unsere Website regelmäßig, um neue Videos zum Thema Mathematik zu erhalten.               

Um ein Video zu einem bestimmten Thema zu sehen, klicken Sie bitte auf den bereitgestellten Link.


Fragen zur Kontinuität mit Lösungen

Fragen mit Antworten zur Stetigkeit von Funktionen mit Schwerpunkt auf rationalen und stückweisen Funktionen. Die Stetigkeit einer Funktion und ihrer Ableitung an einem bestimmten Punkt wird diskutiert. Grafische Bedeutung und Interpretation der Kontinuität sind ebenfalls enthalten.

Beispiel 1: Für welche Werte von x ist jede der folgenden Funktionen unstetig?

Lösung zu Beispiel 1
a) Für x = 0, der Nenner der Funktion f(x) entspricht 0 und f(x) ist nicht definiert und hat kein Limit bei x = 0. Daher Funktion f(x) ist diskontinuierlich bei x = 0.
b) Für x = 2 der Nenner der Funktion g(x) ist gleich 0 und Funktion g(x) nicht definiert bei x = 2 und es hat keine Begrenzung. Funktion g(x) ist nicht stetig bei x = 2.
c) Der Nenner der Funktion h(x) lässt sich wie folgt faktorisieren: x 2 -1 = (x - 1) (x + 1). Der Nenner ist gleich 0 für x = 1 und x = -1 Werte, für die die Funktion undefiniert ist und keine Grenzen hat. Funktion ha ist unstetig bei x = 1 und x = -1.
d) braun(x) ist für alle Werte von undefiniert x so dass x = π/2 + k π , wobei k eine beliebige ganze Zahl ist (k = 0, -1, 1, -2, 2. ) und ist daher für dieselben Werte von unstetig x.
e) Der Nenner der Funktion j(x) ist gleich 0 für x so dass cos(x) - 1 = 0 oder x = k (2 π), wo k ist eine ganze Zahl und daher ist diese Funktion undefiniert und daher unstetig für all diese gleichen Werte von x.
f) Funktion k(x) ist definiert als das Verhältnis zweier stetiger Funktionen (wobei Nenner x 2 + 5 niemals gleich 0 ist), ist für alle reellen Werte von . definiert x und hat daher keine Unstetigkeitsstelle.
G) l(x) = (x + 4)/(x + 4) = 1 . Daher lim l(x) wenn x nähert sich -4 = 1 = l(-4) . Die Funktion l(x) ist für alle reellen Werte von x stetig und hat daher keine Unstetigkeitsstelle.

Beispiel 2: Finden b so dass f(x) unten angegeben ist kontinuierlich?

Lösung zu Beispiel 2
Für x > -1 ist f(x) = 2 x 2 + b eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für x < -1 ist f(x) = -x 3 eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für x = -1
f(-1) = 2(-1) 2 + b = 2 + b
Betrachten wir die Grenzen für die linke und rechte Hand
Grenze von links von -1

Beispiel 3: Finden ein und b so dass beide g(x) unten und seine erste Ableitung sind stetig?

Lösung zu Beispiel 3
Stetigkeit der Funktion g
Für x > 2 ist g(x) = a x 2 + b eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für x < 2 ist g(x) = -2 x + 2 eine Polynomfunktion und daher stetig.
Lassen

Die Funktion g(x) ist unten grafisch dargestellt und es ist klar, dass sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung (Steigung) bei x = 2 stetig sind.

4.2 Grenzen und Kontinuität

Wir haben jetzt Funktionen von mehr als einer Variablen untersucht und gesehen, wie man sie grafisch darstellt. In diesem Abschnitt sehen wir, wie man den Grenzwert einer Funktion von mehr als einer Variablen nimmt und was es bedeutet, dass eine Funktion von mehr als einer Variablen an einem Punkt in ihrem Bereich stetig ist. Es stellt sich heraus, dass diese Konzepte Aspekte haben, die bei Funktionen einer Variablen einfach nicht vorkommen.

Grenzwert einer Funktion von zwei Variablen

Erinnern Sie sich aus The Limit of a Function an die Definition eines Grenzwerts einer Funktion einer Variablen:

Bevor wir diese Definition anpassen können, um einen Grenzwert einer Funktion von zwei Variablen zu definieren, müssen wir zuerst sehen, wie wir die Idee eines offenen Intervalls in einer Variablen auf ein offenes Intervall in zwei Variablen erweitern können.

Definition

wie in der folgenden Grafik dargestellt.

In mehr als einer Dimension verwenden wir eine δ δ Scheibe.

Definition

Der Nachweis, dass ein Grenzwert existiert, kann unter Verwendung der Definition eines Grenzwerts einer Funktion von zwei Variablen eine Herausforderung sein. Stattdessen verwenden wir den folgenden Satz, der uns Abkürzungen zum Auffinden von Grenzen gibt. Die Formeln in diesem Satz sind eine Erweiterung der Formeln des Grenzwertsatzes in den Grenzwertgesetzen.

Grenzwertgesetze für Funktionen zweier Variablen

Konstantes Gesetz:

Identitätsgesetze:

Differenzgesetz:

Konstantes Vielfaches Gesetz:

Produktrecht:

Quotientengesetz:

für jede positive ganze Zahl n . n.

Die Beweise dieser Eigenschaften ähneln denen für die Funktionsgrenzen einer Variablen. Wir können diese Gesetze anwenden, um Grenzen verschiedener Funktionen zu finden.

Beispiel 4.8

Den Grenzwert einer Funktion zweier Variablen finden

Finden Sie jede der folgenden Grenzen:

Lösung

Bewerten Sie die folgende Grenze:

Beispiel 4.9

Grenzen, die nicht existieren

Zeigen Sie, dass keine der folgenden Grenzen existiert:

Lösung

  1. Der Definitionsbereich der Funktion f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 besteht aus allen Punkten in der xy -Ebene xy -Ebene außer der Punkt ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (Abbildung 4.16). Um zu zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert, wenn (x, y) (x, y) sich (0, 0), (0, 0) nähert, stellen wir fest, dass es unmöglich ist, die Definition eines Grenzwerts einer Funktion von zwei zu erfüllen Variablen, da die Funktion unterschiedliche Werte entlang verschiedener Linien annimmt, die durch den Punkt (0, 0) gehen. ( 0 , 0 ) . Betrachten Sie zunächst die Gerade y = 0 y = 0 in der x y -Ebene. x y -Ebene. Einsetzen von y = 0 y = 0 in f ( x , y ) f ( x , y ) ergibt

Innenpunkte und Grenzpunkte

Um die Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion von zwei oder mehr Variablen zu untersuchen, müssen wir zunächst eine neue Terminologie lernen.

Definition

Definition

Definition

Definition

Beispiel 4.10

Grenzwert einer Funktion an einem Randpunkt

Beweisen Sie lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 . lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 .

Lösung

Wir können die Grenzwertgesetze verwenden, die sowohl für Grenzwerte am Rand von Domänen als auch für innere Punkte gelten:

Bewerten Sie die folgende Grenze:

Kontinuität der Funktionen zweier Variablen

In Stetigkeit haben wir die Stetigkeit einer Funktion einer Variablen definiert und gesehen, wie sie sich auf den Grenzwert einer Funktion einer Variablen stützt. Insbesondere sind drei Bedingungen notwendig, damit f ( x ) f ( x ) im Punkt x = a stetig ist: x = a :

Diese drei Bedingungen sind auch für die Stetigkeit einer Funktion von zwei Variablen notwendig.

Definition

Beispiel 4.11

Kontinuität für eine Funktion zweier Variablen demonstrieren

Zeigen Sie, dass die Funktion f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 im Punkt ( 5 , −3 ) stetig ist. ( 5 , -3 ).

Lösung

Es gibt drei Bedingungen, die gemäß der Definition der Kontinuität erfüllt sein müssen. In diesem Beispiel ist a = 5 a = 5 und b = −3 . b = -3 .

Zeigen Sie, dass die Funktion f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 im Punkt ( 2 , −3 ) stetig ist. ( 2 , -3 ) .

Die Summe stetiger Funktionen ist stetig

Das Produkt stetiger Funktionen ist stetig

Die Zusammensetzung stetiger Funktionen ist stetig

Verwenden wir nun die vorherigen Theoreme, um die Stetigkeit von Funktionen in den folgenden Beispielen zu zeigen.

Beispiel 4.12

Weitere Beispiele für die Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen

Lösung

Funktionen von drei oder mehr Variablen

Definition

Beispiel 4.13

Den Grenzwert einer Funktion von drei Variablen finden

Finden Sie lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , −3) x 2 y − 3 z 2 x + 5 y − z . lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , –3) x 2 y – 3 z 2 x + 5 y – z .

Lösung

Bevor wir das Quotientengesetz anwenden können, müssen wir überprüfen, ob der Grenzwert des Nenners von Null verschieden ist. Unter Verwendung des Differenzengesetzes, des Identitätsgesetzes und des Konstantengesetzes

Da dies nicht Null ist, suchen wir als nächstes den Grenzwert des Zählers. Unter Verwendung des Produktgesetzes, des Differenzengesetzes, des konstanten Vielfachen und des Identitätsgesetzes

Zuletzt gilt das Quotientengesetz:

Finden Sie lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 . lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 .

Abschnitt 4.2 Übungen

Ermitteln Sie für die folgenden Übungen die Grenze der Funktion.

lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2

Bewerten Sie für die folgenden Übungen die Grenzen bei den angegebenen Werten von x und y . x und y. Wenn der Grenzwert nicht existiert, geben Sie dies an und erklären Sie, warum der Grenzwert nicht existiert.

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 y 2 + 6 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 Jahre 2 + 6

lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y

lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 )

lim ( x , y ) → ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1 lim ( x , y ) → ( / 4 , 1 ) y tan x y + 1

lim ( x , y ) → ( 0 , π / 4 ) sec x + 2 3 x − tan y lim ( x , y ) → ( 0 , / 4 ) sec x + 2 3 x − tan y

lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x - 5 y ) lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x - 5 y )

lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y

lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2 lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 - x 2 - y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 - x 2 - y 2

lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 + 3 x + 2 y ) lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 + 3 x + 2 j )

lim ( x , y ) → ( π , π ) x sin ( x + y 4 ) lim ( x , y ) → ( π , π ) x sin ( x + y 4 )

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 )

Vervollständigen Sie für die folgenden Übungen die Anweisung.

Verwenden Sie für die folgenden Übungen algebraische Techniken, um den Grenzwert zu bewerten.

lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1 lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y

Bewerten Sie für die folgenden Übungen die Grenzen der Funktionen von drei Variablen.

lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x y z − 1 lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x y z − 1

lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2 lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2

Bewerten Sie für die folgenden Übungen den Grenzwert der Funktion, indem Sie den Wert bestimmen, dem sich die Funktion entlang der angegebenen Pfade nähert. Wenn die Grenze nicht existiert, erklären Sie, warum nicht.

lim ( x , y ) → ( 0 , 0) x y + y 3 x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0) x y + y 3 x 2 + y 2

lim ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 y x 4 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0) x 2 y x 4 + y 2

Diskutieren Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen. Finden Sie die größte Region in der x y -Ebene x y -Ebene, in der die folgenden Funktionen stetig sind.

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen den Bereich, in dem die Funktion stetig ist. Erkläre deine Antwort.

(Hinweis: Zeigen Sie, dass sich die Funktion auf zwei verschiedenen Wegen unterschiedlichen Werten nähert.)

f ( x , y ) = sin ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 f ( x , y ) = sin ( x 2 + y 2 )x 2 + y 2

Bestimmen Sie, ob g (x, y) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 g (x, y) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 bei (0, 0) stetig ist. ( 0 , 0 ) .

Erstellen Sie mit einer Grafiksoftware ein Diagramm, um festzustellen, wo die Grenze nicht existiert. Bestimmen Sie den Bereich der Koordinatenebene, in dem f ( x , y ) = 1 x 2 − y f ( x , y ) = 1 x 2 − y stetig ist.

An welchen Punkten im Raum ist g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 stetig?

An welchen Punkten im Raum ist g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 stetig?

Verwenden Sie Polarkoordinaten, um lim (x, y) → (0, 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 zu finden. lim (x, y) → (0, 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 . Sie können den Grenzwert auch mit der Regel von L’Hôpital ermitteln.

Verwenden Sie Polarkoordinaten, um lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2) zu finden. lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2).

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    • Autoren: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Calculus Band 3
    • Erscheinungsdatum: 30.03.2016
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-2-limits-and-continuity

    © 21.12.2020 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    JEE Hauptmathematische Grenzen, Kontinuität, Differenzierbarkeit und Differenzierung


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    So stellen Sie fest, wann keine Limits existieren

    Limits existieren in der Regel aus einem von vier Gründen nicht:

    1. Die einseitigen Grenzen sind nicht gleich
    2. Die Funktion nähert sich keinem endlichen Wert (siehe Grundlegende Definition von Limit) .
    3. Die Funktion nähert sich keinem bestimmten Wert (Oszillation).
    4. Der $x$ - Wert nähert sich dem Endpunkt eines geschlossenen Intervalls

    Beispiele

    Beispiel 1: Einseitige Grenzen sind nicht gleich

    Verwenden Sie das Diagramm unten, um zu verstehen, warum $displaystylelimlimits_ f(x)$ existiert nicht.

    $f(x)$ nähert sich zwei verschiedenen Werten.

    . je nachdem aus welcher Richtung sich $x$ nähert.

    In der Grafik bemerken wir, dass $displaystylelim_ f(x) approx 2$ und $displaystylelim_ f(x) ungefähr 3$

    Auch wenn der Graph nur eine Annäherung an die einseitigen Grenzen erlaubt, ist sicher, dass sich der Wert $f(x)$ nähert, abhängig von der Richtung, aus der $x$ kommt. Daher existiert die Grenze nicht.

    Beispiel 2: Unendlich großer Wert

    Verwenden Sie das Diagramm unten, um zu verstehen, warum $displaystylelimlimits_ f(x)$ existiert nicht.

    Damit ein Grenzwert existiert, muss sich die Funktion einem bestimmten Wert nähern. Im oben gezeigten Fall zeigen die Pfeile auf der Funktion an, dass die Funktion unendlich groß wird. Da sich die Funktion einem bestimmten Wert nicht nähert, existiert die Grenze nicht.

    Beispiel 3: Unendliche Schwingungen

    Was ist $displaystylelimlimits_ sin(frac 1 x)$ ?

    Etwas Interessantes passiert, wenn Sie $f(x) = sinleft(frac 1 x ight)$ untersuchen, wenn sich $x$ 0 nähert. Die Funktion beginnt immer schneller zu schwingen.

    Je näher $x$ an 0 kommt, desto schneller oszilliert die Funktion zwischen 1 und -1. Nähert sich $f(x)$ a einzelner, besonderer Wert? Nein, ist es nicht. Folglich existiert die Grenze nicht.

    Beispiel 4: Endpunkte eines Intervalls

    Untersuche $limlimits_ sqrt x$

    Betrachten Sie den folgenden Graphen von $f(x) = sqrt x$. Wie würden wir das Limit bestimmen, wenn sich $x$ 0 nähert?

    Da diese Funktion nur für $x$-Werte rechts von 0 definiert ist, können wir $x$ nicht von links heranfahren lassen.

    Um zu sagen, dass der Grenzwert existiert, muss sich die Funktion dem gleichen Wert annähern ungeachtet aus welcher Richtung $x$ kommt (Wir haben dies als Richtungsunabhängigkeit bezeichnet). Da dies für diese Funktion nicht zutrifft, da sich $x$ 0 nähert, existiert das Limit nicht.


    2.4 Kontinuität

    Viele Funktionen haben die Eigenschaft, dass ihre Graphen mit einem Bleistift nachgezeichnet werden können, ohne den Bleistift von der Seite zu heben. Solche Funktionen heißen kontinuierlich. Andere Funktionen haben Punkte, an denen ein Bruch im Graphen auftritt, erfüllen diese Eigenschaft jedoch über Intervalle, die in ihren Domänen enthalten sind. Sie sind auf diesen Intervallen stetig und haben a Diskontinuität an einem Punkt wo ein Bruch auftritt.

    Wir beginnen unsere Untersuchung der Stetigkeit, indem wir untersuchen, was es für eine Funktion bedeutet, zu haben Kontinuität an einem Punkt. Intuitiv ist eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig, wenn ihr Graph an dieser Stelle keine Unterbrechung aufweist.

    Kontinuität an einem Punkt

    Bevor wir uns eine formale Definition dessen ansehen, was es bedeutet, dass eine Funktion an einem Punkt stetig ist, betrachten wir verschiedene Funktionen, die unserer intuitiven Vorstellung davon, was es bedeutet, an einem Punkt stetig zu sein, nicht entsprechen. Anschließend erstellen wir eine Liste von Bedingungen, die solche Fehler verhindern.

    Wie wir in Abbildung 2.34 sehen, garantieren diese beiden Bedingungen für sich genommen jedoch keine Stetigkeit an einem Punkt. Die Funktion in dieser Abbildung erfüllt unsere beiden ersten Bedingungen, ist aber immer noch nicht stetig bei ein. Wir müssen unserer Liste eine dritte Bedingung hinzufügen:

    Nun stellen wir unsere Liste von Bedingungen zusammen und bilden an einer Stelle eine Definition von Kontinuität.

    Definition

    Eine Funktion ist an einem Punkt unstetig ein wenn es nicht kontinuierlich ist bei ein.

    Das folgende Verfahren kann verwendet werden, um die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt unter Verwendung dieser Definition zu analysieren.

    Problemlösungsstrategie

    Problemlösungsstrategie: Kontinuität an einem Punkt bestimmen

    Die nächsten drei Beispiele zeigen, wie diese Definition angewendet wird, um zu bestimmen, ob eine Funktion an einem bestimmten Punkt stetig ist. Diese Beispiele veranschaulichen Situationen, in denen jede der Bedingungen für die Kontinuität in der Definition erfolgreich ist oder fehlschlägt.

    Beispiel 2.26

    Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt, Bedingung 1

    Bestimmen Sie anhand der Definition, ob die Funktion f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) bei x = 2 stetig ist. x = 2. Begründen Sie die Schlussfolgerung.


    Schau das Video: STETIGKEIT überprüfen und beweisen abschnittsweise definierte Funktionen, stetig, Beweis (November 2021).