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8.6: Parametrische Gleichungen - Mathematik


Lernziele

  • Parametrieren Sie eine Kurve.
  • Eliminieren Sie den Parameter.
  • Finden Sie eine rechteckige Gleichung für eine parametrisch definierte Kurve.
  • Finden Sie parametrische Gleichungen für Kurven, die durch rechteckige Gleichungen definiert sind.

Betrachten Sie die Bahn, der ein Mond folgt, während er einen Planeten umkreist, der sich gleichzeitig um die Sonne dreht, wie in Abbildung (PageIndex{1}) zu sehen ist. Der Mond befindet sich zu jedem Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt relativ zum Planeten. Aber wie schreiben und lösen wir die Gleichung für die Position des Mondes, wenn die Entfernung vom Planeten, die Geschwindigkeit der Mondumlaufbahn um den Planeten und die Rotationsgeschwindigkeit um die Sonne alle unbekannt sind? Wir können immer nur nach einer Variablen auflösen.

In diesem Abschnitt betrachten wir Gleichungssätze, die durch (x(t)) und (y(t)) gegeben sind, wobei (t) die unabhängige Variable der Zeit ist. Wir können diese parametrischen Gleichungen in einer Reihe von Anwendungen verwenden, wenn wir nicht nur eine bestimmte Position, sondern auch die Bewegungsrichtung suchen. Wenn wir aufeinanderfolgende Werte von (t) verfolgen, wird die Orientierung der Kurve klar. Dies ist einer der Hauptvorteile der Verwendung parametrischer Gleichungen: Wir sind in der Lage, die Bewegung eines Objekts entlang eines Pfades gemäß der Zeit zu verfolgen. Wir beginnen diesen Abschnitt mit einem Blick auf die Grundkomponenten parametrischer Gleichungen und was es bedeutet, eine Kurve zu parametrisieren. Dann lernen wir, den Parameter zu eliminieren, die Gleichungen einer parametrisch definierten Kurve in rechteckige Gleichungen zu übersetzen und die parametrischen Gleichungen für durch rechteckige Gleichungen definierte Kurven zu finden.

Parametrieren einer Kurve

Wenn sich ein Objekt entlang einer Kurve – oder eines krummlinigen Pfades – in einer bestimmten Richtung und in einer bestimmten Zeit bewegt, wird die Position des Objekts in der Ebene durch (x)-Koordinate und die (y)-Koordinate. Jedoch ändern sich sowohl (x) als auch (y) im Laufe der Zeit, ebenso wie Funktionen der Zeit. Aus diesem Grund fügen wir eine weitere Variable hinzu, den Parameter, von dem sowohl (x) als auch (y) abhängige Funktionen sind. Im Beispiel im Abschnittseröffner ist der Parameter Zeit, (t). Die (x)-Position des Mondes zum Zeitpunkt (t) wird als Funktion (x(t)) und die (y)-Position des Mondes zum Zeitpunkt (t ), wird als Funktion (y(t)) dargestellt. (x(t)) und (y(t)) werden zusammen als parametrische Gleichungen bezeichnet und erzeugen ein geordnetes Paar ((x(t), y(t))). Parametrische Gleichungen beschreiben hauptsächlich Bewegung und Richtung.

Wenn wir eine Kurve parametrisieren, übersetzen wir eine einzelne Gleichung in zwei Variablen wie (x) und (y) in ein äquivalentes Gleichungspaar in drei Variablen (x), (y ), und T). Einer der Gründe, warum wir eine Kurve parametrisieren, liegt darin, dass die parametrischen Gleichungen mehr Informationen liefern: insbesondere die Bewegungsrichtung des Objekts im Laufe der Zeit.

Wenn wir parametrische Gleichungen grafisch darstellen, können wir das individuelle Verhalten von (x) und (y) beobachten. Es gibt eine Reihe von Formen, die nicht in der Form (y=f(x)) dargestellt werden können, also keine Funktionen sind. Betrachten Sie zum Beispiel den Graphen eines Kreises, gegeben als (r^2=x^2+y^2). Auflösen nach (y) ergibt (y=pm sqrt{r^2−x^2}) oder zwei Gleichungen: (y_1=sqrt{r^2−x^2}) und (y_2=−sqrt{r^2−x^2}). Wenn wir (y_1) und (y_2) zusammen grafisch darstellen, besteht der Graph den vertikalen Linientest nicht, wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt. Die Gleichung für den Kreisgraphen ist also keine Funktion.

Wenn wir jedoch jede Gleichung für sich grafisch darstellen würden, würde jede den vertikalen Linientest bestehen und würde daher eine Funktion darstellen. In einigen Fällen ähnelt das Konzept der Aufteilung der Gleichung für einen Kreis in zwei Funktionen dem Konzept der Erstellung parametrischer Gleichungen, da wir zwei Funktionen verwenden, um eine Nichtfunktion zu erzeugen. Dies wird im weiteren Verlauf klarer.

Parametergleichungen

Angenommen (t) ist eine Zahl auf einem Intervall (I). Die Menge der geordneten Paare, ((x(t), y(t))), mit (x=f(t)) und (y=g(t)), bildet eine ebene Kurve basierend auf dem Parameter (t). Die Gleichungen (x=f(t)) und (y=g(t)) sind die parametrischen Gleichungen.

Beispiel (PageIndex{1}): Parametrieren einer Kurve

Parametrieren Sie die Kurve (y=x^2−1) mit (x(t)=t). Zeichnen Sie beide Gleichungen.

Lösung

Wenn (x(t)=t), dann ersetzen wir zum Finden von (y(t)) die Variable (x) durch den in (x(t)) angegebenen Ausdruck. Mit anderen Worten, (y(t)=t^2−1).Erstellen Sie eine Tabelle mit Werten ähnlich der Tabelle (PageIndex{1}) und skizzieren Sie den Graphen.

Tabelle (PageIndex{1})
(T)(x(t))(y(t))
(−4)(−4)(y(−4)={(−4)}^2−1=15)
(−3)(−3)(y(−3)={(−3)}^2−1=8)
(−2)(−2)(y(−2)={(−2)}^2−1=3)
(−1)(−1)(y(−1)={(−1)}^2−1=0)
(0)(0)(y(0)={(0)}^2−1=−1)
(1)(1)(y(1)={(1)}^2−1=0)
(2)(2)(y(2)={(2)}^2−1=3)
(3)(3)(y(3)={(3)}^2−1=8)
(4)(4)(y(4)={(4)}^2−1=15)

Siehe die Grafiken in Abbildung (PageIndex{3}) . Es kann hilfreich sein, die TRACE-Funktion eines Grafikrechners zu verwenden, um zu sehen, wie die Punkte erzeugt werden, wenn (t) ansteigt.

Analyse

Die Pfeile geben die Richtung an, in der die Kurve erzeugt wird. Beachten Sie, dass die Kurve mit der Kurve von (y=x^2−1) identisch ist.

Übung (PageIndex{1})

Konstruieren Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie die parametrischen Gleichungen: (x(t)=t−3), (y(t)=2t+4); (−1≤t≤2).

Antworten
(T)(x(t))(y(t))
(-1)(-4)(2)
(0)(-3)(4)
(1)(-2)(6)
(2)(-1)(8)

Beispiel (PageIndex{2}): Ein Paar parametrischer Gleichungen finden

Finden Sie ein Paar parametrischer Gleichungen, das den Graphen von (y=1−x^2) modelliert, indem Sie den Parameter (x(t)=t) verwenden. Zeichnen Sie einige Punkte und skizzieren Sie den Graphen.

Lösung

Wenn (x(t)=t) und wir (t) durch (x) in die (y)-Gleichung einsetzen, dann gilt (y(t)=1−t^2). Unser Paar parametrischer Gleichungen ist

[egin{align*} x(t) &=t y(t) &= 1−t^2 end{align*}]

Um die Gleichungen grafisch darzustellen, erstellen wir zunächst eine Wertetabelle wie in Tabelle (PageIndex{2}). Wir können Werte um (t=0), von (t=−3) bis (t=3) wählen. Die Werte in der Spalte (x(t)) sind dieselben wie in der Spalte (t), da (x(t)=t). Berechnen Sie Werte für die Spalte (y(t)).

Tabelle (PageIndex{2})
(T)(x(t)=t)(y(t)=1−t^2)
(−3)(−3)(y(−3)=1−{(−3)}^2=−8)
(−2)(−2)(y(−2)=1−{(−2)}^2=−3)
(−1)(−1)(y(−1)=1−{(−1)}^2=0)
(0)(0)(y(0)=1−0=1)
(1)(1)(y(1)=1−{(1)}^2=0)
(2)(2)(y(2)=1−{(2)}^2=−3)
(3)(3)(y(3)=1−{(3)}^2=−8)

Der Graph von (y=1−t^2) ist eine nach unten gerichtete Parabel, wie in Abbildung (PageIndex{5}) gezeigt. Wir haben die Kurve über das Intervall ([−3, 3]) abgebildet, dargestellt als durchgezogene Linie mit Pfeilen, die die Orientierung der Kurve gemäß (t) anzeigen. Orientierung bezieht sich auf den entlang der Kurve verfolgten Weg in Form von steigenden Werten von (t). Da diese Parabel symmetrisch zur Geraden (x=0) ist, spiegeln sich die Werte von (x) über die ja-Achse.

Übung (PageIndex{2})

Parametrieren Sie die durch (x=y^3−2y) gegebene Kurve.

Antworten

(x(t)=t^3−2t)

(y(t)=t)

Beispiel (PageIndex{3}): Parametrische Gleichungen finden, die gegebene Kriterien modellieren

Ein Objekt bewegt sich in vier Sekunden mit konstanter Geschwindigkeit auf einem geraden Weg ((−5, 3)) nach ((3, −1)) in derselben Ebene. Die Koordinaten werden in Metern gemessen. Finden Sie parametrische Gleichungen für die Position des Objekts.

Lösung

Die parametrischen Gleichungen sind einfache lineare Ausdrücke, aber wir müssen dieses Problem Schritt für Schritt betrachten. Dasx-Wert des Objekts beginnt bei (−5) Meter und geht bis (3) Meter. Dies bedeutet, dass sich die Entfernung (x) in (4) Sekunden um (8) Meter geändert hat, was einer Geschwindigkeit von (dfrac{8space m}{4space s}) entspricht, oder (2space m/s). Wir können das schreiben x-Koordinate als lineare Funktion bezüglich der Zeit als (x(t)=2t−5). In der linearen Funktionsschablone (y=mx+b), (2t=mx) und (−5=b).

In ähnlicher Weise beginnt der (y)-Wert des Objekts bei (3) und geht bis (−1), was eine Änderung der Entfernung (y) von (−4) Metern . ist in (4) Sekunden, was einer Geschwindigkeit von (dfrac{−4space m}{4space s}) oder (−1space m/s) entspricht. Wir können die auch schreiben ja-Koordinate als lineare Funktion (y(t)=−t+3). Zusammen sind dies die parametrischen Gleichungen für die Position des Objekts, wobei (x) und (y) in Metern ausgedrückt werden und (t) für die Zeit steht:

[egin{align*} x(t) &= 2t−5 ​​y(t) &= −t+3 end{align*}]

Mit diesen Gleichungen können wir eine Wertetabelle für (t), (x) und (y) erstellen (siehe Tabelle (PageIndex{3})). In diesem Beispiel haben wir die Werte von (t) auf nicht negative Zahlen beschränkt. Im Allgemeinen kann jeder Wert von (t) verwendet werden.

Tabelle (PageIndex{3})
(T)(x(t)=2t−5)(y(t)=−t+3)
(0)(x=2(0)−5=−5)(y=−(0)+3=3)
(1)(x=2(1)−5=−3)(y=−(1)+3=2)
(2)(x=2(2)−5=−1)(y=−(2)+3=1)
(3)(x=2(3)−5=1)(y=−(3)+3=0)
(4)(x=2(4)−5=3)(y=−(4)+3=−1)

Aus dieser Tabelle können wir drei Diagramme erstellen, wie in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt.

Analyse

Wir sehen wieder, dass wir in Abbildung (PageIndex{6}) (c) die Bewegung des Objekts entlang des Pfads mit Pfeilen anzeigen können, wenn der Parameter die Zeit darstellt.

Eliminieren des Parameters

In vielen Fällen haben wir möglicherweise ein Paar parametrischer Gleichungen, stellen jedoch fest, dass es einfacher ist, eine Kurve zu zeichnen, wenn die Gleichung nur zwei Variablen enthält, wie z. B. (x) und (y). Das Eliminieren des Parameters ist eine Methode, die die grafische Darstellung einiger Kurven erleichtern kann. Wenn es sich jedoch um die Abbildung der Gleichung nach der Zeit handelt, ist es erforderlich, auch die Orientierung der Kurve anzugeben. Es gibt verschiedene Verfahren zum Eliminieren des Parameters (t) aus einem Satz parametrischer Gleichungen; nicht jede Methode funktioniert für jeden Gleichungstyp. Hier werden wir die Methoden für die gängigsten Arten von Gleichungen überprüfen.

Eliminieren des Parameters aus polynomischen, exponentiellen und logarithmischen Gleichungen

Für polynomielle, exponentielle oder logarithmische Gleichungen, die als zwei parametrische Gleichungen ausgedrückt werden, wählen wir die Gleichung, die am einfachsten manipuliert werden kann, und lösen nach (t) auf. Wir setzen den resultierenden Ausdruck für (t) in die zweite Gleichung ein. Dies ergibt eine Gleichung in (x) und (y).

Beispiel (PageIndex{4}): Eliminieren des Parameters in Polynomen

Gegeben (x(t)=t^2+1) und (y(t)=2+t), eliminiere den Parameter und schreibe die parametrischen Gleichungen als kartesische Gleichung.

Lösung

Wir beginnen mit der Gleichung für (y), da die lineare Gleichung nach (t) leichter zu lösen ist.

[egin{align*} y &= 2+t y−2 &=t end{align*}]

Als nächstes ersetze (y−2) für (t) in (x(t)).

[egin{align*} x &= t^2+1 x &= {(y−2)}^2+1 ;;;;;;;; ext{Ersetze den Ausdruck für }t ext{ in }x. x &= y^2−4y+4+1 x &= y^2−4y+5 x &= y^2−4y+5 end{align*}]

Die kartesische Form ist (x=y^2−4y+5).

Analyse

Dies ist eine Gleichung für eine Parabel, in der (x) rechtwinklig von (y) abhängt. Vom Scheitelpunkt der Kurve bei ((1,2)) schwenkt der Graph nach rechts. Siehe Abbildung (PageIndex{7}). In diesem Abschnitt betrachten wir Gleichungssätze, die durch die Funktionen (x(t)) und (y(t)) gegeben sind, wobei (t) die unabhängige Variable der Zeit ist. Beachten Sie, dass sowohl (x) als auch (y) Funktionen der Zeit sind; also ist (y) im Allgemeinen keine Funktion von (x).

Übung (PageIndex{3})

Eliminieren Sie bei gegebenen Gleichungen unten den Parameter und schreiben Sie als rechteckige Gleichung für (y) als Funktion von (x).

[egin{align*} x(t) &= 2t^2+6 y(t) &= 5−t end{align*}]

Antworten

(y=5−sqrt{frac{1}{2}x−3})

Beispiel (PageIndex{5}): Eliminieren des Parameters in Exponentialgleichungen

Eliminiere den Parameter und schreibe als kartesische Gleichung: (x(t)=e^{−t}) und (y(t)=3e^t),(t>0).

Lösung

Isoliere (e^t).

[egin{align*} x &=e^{−t} e^t &= dfrac{1}{x} end{align*}]

Ersetzen Sie den Ausdruck in (y(t)).

[egin{align*} y &= 3e^t y &= 3 left(dfrac{1}{x} ight) y &= dfrac{3}{x} end{ ausrichten*}]

Die kartesische Form ist (y=dfrac{3}{x}).

Analyse

Der Graph der parametrischen Gleichung ist in Abbildung (PageIndex{8a}) dargestellt. Die Domäne ist auf (t>0) beschränkt. Die kartesische Gleichung (y=dfrac{3}{x}) ist in Abbildung (PageIndex{8b}) dargestellt und hat nur eine Einschränkung auf den Definitionsbereich, (x≠0).

0, und ein Graph dieser parametrischen Gleichung in Polarkoordinaten mit einem nur auf x ungleich 0 beschränkten Bereich. Die kartesische Koordinatenversion hat eine zusätzliche Reflexion der Funktion über den Ursprung in Q 3 (das Original war nur in Q 1). " src="/@api/deki/files/12489/imageedit_21_3487926125.png">

Beispiel (PageIndex{6}): Eliminieren des Parameters in logarithmischen Gleichungen

Eliminiere den Parameter und schreibe als kartesische Gleichung: (x(t)=sqrt{t}+2) und (y(t)=log(t)).

Lösung

Löse die erste Gleichung nach (t).

[egin{align*} x &= sqrt{t}+2 x−2 &= sqrt{t} {(x−2)}^2 &= t ;;; ;;;;; ext{Beide Seiten quadrieren.} end{align*}]

Setzen Sie dann den Ausdruck für (t) in die (y)-Gleichung ein.

[egin{align*} y &= log(t) y &= log{(x−2)}^2 end{align*}]

Die kartesische Form ist (y=log{(x−2)}^2).

Analyse

Um sicherzustellen, dass die parametrischen Gleichungen der kartesischen Gleichung entsprechen, überprüfen Sie die Domänen. Die parametrischen Gleichungen beschränken den Bereich auf (x=sqrt{t}+2) auf (t>0); wir beschränken die Domäne auf (x) auf (x>2). Der Definitionsbereich für die parametrische Gleichung (y=log(t)) ist auf (t>0) beschränkt; wir begrenzen den Definitionsbereich auf (y=log{(x−2)}^2) auf (x>2).

Übung (PageIndex{4})

Eliminiere den Parameter und schreibe als a rechteckige Gleichung.

[egin{align*} x(t) &= t^2 y(t) &= ln t ext{, } t>0 end{align*}]

Antworten

(y=lnsqrt{x})

Eliminieren des Parameters aus trigonometrischen Gleichungen

Das Eliminieren des Parameters aus trigonometrischen Gleichungen ist eine einfache Substitution. Wir können einige der bekannten trigonometrischen Identitäten und den Satz des Pythagoras verwenden.

Zuerst verwenden wir die Identitäten:

[egin{align*} x(t) &= a cos t y(t) &= b sin t end{align*}]

Auflösen nach (cos t) und (sin t) gilt

[egin{align*} dfrac{x}{a} &= cos t dfrac{y}{b} &= sin t end{align*}]

Verwenden Sie dann den Satz des Pythagoras:

({cos}^2 t+{sin}^2 t=1)

Ersetzen gibt

({cos}^2 t+{sin}^2 t={left(dfrac{x}{a} ight)}^2+{left(dfrac{y}{b} ight )}^2=1)

Beispiel (PageIndex{7}): Eliminieren des Parameters aus einem Paar trigonometrischer parametrischer Gleichungen

Eliminiere den Parameter aus dem gegebenen Paar von trigonometrische Gleichungen wobei (0≤t≤2pi) und skizzieren Sie den Graphen.

[egin{align*} x(t) &=4 cos t y(t) &=3 sin t end{align*}]

Lösung

Auflösen nach (cos t) und (sin t) gilt

[egin{align*} x &=4 cos t dfrac{x}{4} &= cos t y &=3 sin t dfrac{y}{3} & = sin t end{align*}]

Verwenden Sie als nächstes die pythagoräische Identität und nehmen Sie die Ersetzungen vor.

[egin{align*} {cos}^2 t+{sin}^2 t &= 1 {left(dfrac{x}{4} ight)}^2+{left( dfrac{y}{3} ight)}^2 &=1 dfrac{x^2}{16}+dfrac{y^2}{9} &=1 end{align*} ]

Der Graph für die Gleichung ist in Abbildung (PageIndex{9}) dargestellt.

Analyse

Unter Anwendung der allgemeinen Gleichungen für Kegelschnitte (eingeführt in der analytischen Geometrie, können wir (dfrac{x^2}{16}+dfrac{y^2}{9}=1) als Ellipse mit dem Mittelpunkt ( (0,0)) Beachten Sie, dass für (t=0) die Koordinaten ((4,0)) und für (t=dfrac{pi}{2}) die Koordinaten sind ((0,3)) Dies zeigt die Orientierung der Kurve mit steigenden Werten von (t).

Übung (PageIndex{5})

Eliminiere den Parameter aus dem gegebenen Paar parametrischer Gleichungen und schreibe als kartesische Gleichung: (x(t)=2 cos t) und (y(t)=3 sin t).

Antworten

(dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{9}=1)

Finden kartesischer Gleichungen aus parametrisch definierten Kurven

Wenn wir einen Satz parametrischer Gleichungen erhalten und eine äquivalente kartesische Gleichung finden müssen, „eliminieren wir den Parameter“. Es gibt jedoch verschiedene Methoden, mit denen wir einen Satz parametrischer Gleichungen in eine kartesische Gleichung umschreiben können. Die einfachste Methode besteht darin, eine Gleichung gleich dem Parameter zu setzen, beispielsweise (x(t)=t). In diesem Fall kann (y(t)) ein beliebiger Ausdruck sein. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Gleichungspaar.

[egin{align*} x(t) &=t y(t) &= t^2−3 end{align*}]

Um diesen Satz parametrischer Gleichungen neu zu schreiben, muss (x) durch (t) ersetzt werden. Die kartesische Gleichung lautet also (y=x^2−3).

Beispiel (PageIndex{8}): Finden einer kartesischen Gleichung mit alternativen Methoden

Verwenden Sie zwei verschiedene Methoden, um die kartesische Gleichung zu finden, die dem gegebenen Satz parametrischer Gleichungen entspricht.

[egin{align*} x(t) &= 3t−2 y(t) &= t+1 end{align*}]

Lösung

Methode 1. Lösen wir zunächst die (x)-Gleichung nach (t). Dann können wir das Ergebnis in die (y)-Gleichung einsetzen.

[egin{align*} x &= 3t−2 x+2 &= 3t dfrac{x+2}{3} &= t end{align*}]

Setzen Sie nun den Ausdruck für (t) in die (y)-Gleichung ein.

[egin{align*} y &= t+1 y & = left(dfrac{x+2}{3} ight)+1 y &= dfrac{x}{3} +dfrac{2}{3}+1 y &= dfrac{1}{3}x+dfrac{5}{3} end{align*}]

Methode 2. Löse die (y)-Gleichung nach (t) und setze diesen Ausdruck in die (x)-Gleichung ein.

[egin{align*} y &= t+1 y−1 &=t end{align*}]

Nehmen Sie die Substitution vor und lösen Sie dann nach (y) auf.

[egin{align*} x &= 3(y−1)−2 x &= 3y−3−2 x &= 3y−5 ​​x+5 &= 3y dfrac{ x+5}{3} &= y y &= dfrac{1}{3}x+dfrac{5}{3} end{align*}]

Übung (PageIndex{6})

Schreiben Sie die gegebenen parametrischen Gleichungen als kartesische Gleichung: (x(t)=t^3) und (y(t)=t^6).

Antworten

(y=x^2)

Finden parametrischer Gleichungen für Kurven, die durch rechteckige Gleichungen definiert sind

Obwohl wir gerade gezeigt haben, dass es nur eine Möglichkeit gibt, einen Satz parametrischer Gleichungen als rechteckige Gleichung zu interpretieren, gibt es mehrere Möglichkeiten, eine rechteckige Gleichung als Satz parametrischer Gleichungen zu interpretieren. Jede Strategie, die wir verwenden können, um die parametrischen Gleichungen zu finden, ist gültig, wenn sie Äquivalenz erzeugt. Mit anderen Worten, wenn wir einen Ausdruck wählen, der (x) repräsentiert, und ihn dann in die (y)-Gleichung einsetzt und er denselben Graphen über dem gleichen Bereich wie die rechteckige Gleichung erzeugt, dann ist die Menge der Gleichungen gilt. Wenn der Bereich im Satz parametrischer Gleichungen eingeschränkt wird und die Funktion nicht dieselben Werte für (x) zulässt wie der Bereich der rechteckigen Gleichung, dann werden die Graphen unterschiedlich sein.

Beispiel (PageIndex{9}): Finden eines Satzes parametrischer Gleichungen für durch rechteckige Gleichungen definierte Kurven

Finden Sie einen Satz äquivalenter parametrischer Gleichungen für (y={(x+3)}^2+1).

Lösung

Eine naheliegende Wahl wäre (x(t)=t). Dann gilt (y(t)={(t+3)}^2+1). Aber versuchen wir etwas Interessanteres. Was ist, wenn wir (x=t+3) lassen? Dann haben wir

[egin{ausrichten*} y &= {(x+3)}^2+1 y &= {(((t+3)+3)}^2+1 y &= {(t +6)}^2+1 end{ausrichten*}]

Der Satz parametrischer Gleichungen ist

[egin{align*} x(t) &= t+3 y(t) &= {(t+6)}^2+1 end{align*}]

Siehe Abbildung (PageIndex{10}).

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen mit parametrischen Gleichungen zu erhalten.

  • Einführung in parametrische Gleichungen
  • Konvertieren von parametrischen Gleichungen in eine rechteckige Form

Schlüssel Konzepte

  • Das Parametrisieren einer Kurve beinhaltet das Übersetzen einer rechteckigen Gleichung in zwei Variablen (x) und (y) in zwei Gleichungen in drei Variablen (x), (y) und (t). Häufig werden mehr Informationen aus einem Satz parametrischer Gleichungen gewonnen. Siehe Beispiel (PageIndex{1}), Beispiel (PageIndex{2}) und Beispiel (PageIndex{3}).
  • Manchmal lassen sich Gleichungen einfacher grafisch darstellen, wenn sie in rechteckiger Form geschrieben sind. Durch Eliminieren von (t) ergibt sich eine Gleichung in (x) und (y).
  • Um (t) zu eliminieren, löse eine der Gleichungen nach (t) und setze den Ausdruck in die zweite Gleichung ein. Siehe Beispiel (PageIndex{4}), Beispiel (PageIndex{5}), Beispiel (PageIndex{6}) und Beispiel (PageIndex{7}).
  • Das Auffinden der rechteckigen Gleichung für eine parametrisch definierte Kurve ist im Grunde dasselbe wie das Eliminieren des Parameters. Löse in einer der Gleichungen nach (t) auf und setze den Ausdruck in die zweite Gleichung ein. Siehe Beispiel (PageIndex{8}).
  • Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, einen Satz parametrischer Gleichungen für eine als rechteckige Gleichung definierte Kurve auszuwählen.
  • Finden Sie einen Ausdruck für (x) so, dass der Bereich des Satzes parametrischer Gleichungen der gleiche bleibt wie die ursprüngliche rechteckige Gleichung. Siehe Beispiel (PageIndex{9}).


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